Algebraic Number Theory

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寒假一天天地呆在家里摸🐟乏了,决定补补数基,虽然之前的抽代还有不少地方没看明白,但是这不影响👴对数学的三分钟热度

大概只是摘记式的,也就记录一下概念性的东西,结论或者定理之类的,证明就不抄上来了

域的扩张

之前学抽代的时候没仔细看,发现到了代数数论这玩意不看的话不太能理解某些过程,所以把抽代上的一些概念又翻出来补补

域的同态只有零同态和单同态两种可能

为域, 的域同态,当 是单同态时,有 同构于 的子域

由此我们称域的单同态也叫域的嵌入,即通过 嵌入到

一般地,设 为域扩张,如果域嵌入 在子域 上的限制为 的恒等自同构,把这样的 称为K-嵌入

同理定义域 的K-自同构,F的所有K-自同构形成 的子群,记作 ,叫做域扩张 的伽罗瓦群

T: 设 均为域扩张,则

如果 中的元素在 中均代数,则 为代数扩张,否则为超越扩张

T: 有限扩张必为代数扩张

T: 设 为有限生成扩张,,如果 上均代数,则 为有限扩张

T: 设 为域扩张,则 的中间域,称 中的代数闭包

一个域 叫做代数封闭的,是指 的所有根均属于

熟知的复数域C就是代数封闭域,从而Q的所有代数扩域均可看成C的子域

将所有 上代数的元素添加到 所得域 的代数闭包

代数数域

有理数域 Q 的有限扩域 K 叫做代数数域简称数域

单扩张定理:每个数域扩张 均是单扩张,即存在 ,使得

每个数域扩张 均恰有 个从 的K-嵌入

为数域扩张, 是L的n个K-嵌入,对于

定义 分别称作元素 对于扩张 的范和迹

由同态及嵌入的性质很容易得到以下结论

以及对于

T: 设均是数域扩张,,则

是数域的n次扩张, 的n个K-嵌入, 中的n个元素,定义 对扩张 判别式

判别式可以用于判断L中的n个元素是否为L的一组K-基

T:

T: 线

数域K中的乘法有限阶元素ω叫作K中的单位根,如果ω的乘法阶恰为n则称ω为n次本原单位根

数域 的全体单位根形成乘法群 ,称作数域 的单位根群,且 是有限循环群

对于每个正整数n, 是n次本原单位根,而 为全部的n次本原单位根,共

代数整数环

代数数 叫作代数整数指存在,使

考虑二次域中的整数,记 为二次域中全体整数的集合,则当时,;当时,,其中

对于任意数域K,K的整数集合是K的子环

这是一个强的结论,即 的整数,则 也是整数,这里我们称 是数域的整数环,特别的的整数环就是的整数环为

若群同构于n个有理整数加法群的直和,则称其为秩为n的自由Abel群

T: 数域的整数环是秩为的自由Abel群

,如果,则称的一组整基

T: 设,若,或是无平方因子的非零有理整数,则是K的一组整基

只看了代数数论前面的一点内容,后面的内容暂时还用不上,以后再继续补充

  • Post title:Algebraic Number Theory
  • Post author:hash_hash
  • Create time:2022-12-29 16:15:10
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