Algebraic Number Theory

寒假一天天地呆在家里摸🐟乏了，决定补补数基，虽然之前的抽代还有不少地方没看明白，但是这不影响👴对数学的三分钟热度

大概只是摘记式的，也就记录一下概念性的东西，结论或者定理之类的，证明就不抄上来了

域的扩张

之前学抽代的时候没仔细看，发现到了代数数论这玩意不看的话不太能理解某些过程，所以把抽代上的一些概念又翻出来补补

域的同态只有零同态和单同态两种可能

设 和 为域， 是 到 的域同态，当 是单同态时，有 同构于 的子域

由此我们称域的单同态也叫域的嵌入，即通过 将 嵌入到 中

一般地，设 为域扩张，如果域嵌入 在子域 上的限制为 的恒等自同构，把这样的 称为K-嵌入

同理定义域 的K-自同构，F的所有K-自同构形成 的子群，记作 ，叫做域扩张 的伽罗瓦群

T: 设 均为域扩张，则

如果 中的元素在 中均代数，则 为代数扩张，否则为超越扩张

T: 有限扩张必为代数扩张

T: 设 为有限生成扩张，，如果 在 上均代数，则 为有限扩张

T: 设 为域扩张，则 为 的中间域，称 为 在 中的代数闭包

一个域 叫做代数封闭的，是指 的所有根均属于

熟知的复数域C就是代数封闭域，从而Q的所有代数扩域均可看成C的子域

将所有 上代数的元素添加到 所得域 为 的代数闭包

代数数域

有理数域 Q 的有限扩域 K 叫做代数数域简称数域

单扩张定理：每个数域扩张 均是单扩张，即存在 ，使得

每个数域扩张 均恰有 个从 到 的K-嵌入

设 为数域扩张， ， 是L的n个K-嵌入，对于

定义 分别称作元素 对于扩张 的范和迹

由同态及嵌入的性质很容易得到以下结论

以及对于 ，

T: 设均是数域扩张，，则

设 是数域的n次扩张，是 到 的n个K-嵌入， 为 中的n个元素，定义 为 对扩张 判别式

判别式可以用于判断L中的n个元素是否为L的一组K-基

T:

T:

数域K中的乘法有限阶元素ω叫作K中的单位根，如果ω的乘法阶恰为n则称ω为n次本原单位根

数域 的全体单位根形成乘法群 ，称作数域 的单位根群，且 是有限循环群

对于每个正整数n， 是n次本原单位根，而 为全部的n次本原单位根，共 个

代数整数环

代数数 叫作代数整数指存在，使

考虑二次域中的整数，记 为二次域中全体整数的集合，则当时，；当时，，其中

对于任意数域K，K的整数集合是K的子环

这是一个强的结论，即 是的整数，则 和 也是整数，这里我们称 是数域的整数环，特别的的整数环就是，的整数环为

若群同构于n个有理整数加法群的直和，则称其为秩为n的自由Abel群

T: 数域的整数环是秩为的自由Abel群

设 ，如果，则称为的一组整基

T: 设，若，或是无平方因子的非零有理整数，则是K的一组整基

只看了代数数论前面的一点内容，后面的内容暂时还用不上，以后再继续补充