Abstract algebra | hash

容易忘概念

群

集合S和集合S上满足结合律的二元运算所形成的代数结构叫半群

对于含幺半群G，G中的每个元素均可逆，则G叫做群(若运算又满足交换律，则G叫做交换群或Abel群)

表示n行n列复矩阵组成的集合，对矩阵加法形成Abel群，对矩阵乘法形成含幺半群

设M是含幺半群，用或表示半群M中的可逆元素全体

a)全体n阶可逆复方阵形成乘法群，叫做复数上的n次一般线性群，表示成

b)设A为非空集合，A到自身之上的所有一一对应对于合成运算形成群，叫做集合A上的对称群或全置换群

设和是两个群，若映射，满足对，，则称是群到的群同态

(若是单射或满射则分别叫单同态或满同态。如果同态是一一对应的则称是的同构)

以Aut(G)表示群G的自同构全体，验证其对合成运算为群

proof:

a)结合律易证

b)含幺，幺元为恒等映射

c)由于同构是双射，所以对于任意f存在逆

综上Aut(G)对合成运算为群

设G是群，A≤G.定义G上的关系为:对于g,h∈G，g~h<=>，元素g对此等价关系的等价类是Ag(h=ag∈Ag)

于是我们考虑将G分拆成形如Ag的一些集合，每个等价类Ag叫做G对A的右陪集。如果R={}是G对于上述等价关系的完全代表元系，则它通常叫做G对A的右陪集代表元系。

我们称分拆叫G对子群A的右陪集分解，其中右陪集个数表示为，称为子群A对于群G的指数

Lagrange

设G为有限群，A≤G，则，特别地，G的每个子群的阶都是G的阶的因子

proof:

对于a,b∈A，有a≠b<=>ag≠bg.从而对于g∈R，|Ag|=|A|

p阶群G均是Abel群，并且均同构于整数模p加法群

非Abel群的最小阶数是6

设A和B是群G的两子集，如果存在g∈G使则称A和B共轭，叫做A的共轭子群，元素叫做a的共轭元素

设M是群G的子集，则{}是G的子群，叫做M的正规化子

{}，从而为G中与M的每个元素均可换的元素全体，也为G的子群，叫做M的中心化子

子群叫做G的中心，于是G为Abel群<=>G=C(G)，所以C(G)的势反映了群G的交换性程度

theorem:设M是群G的子群，则与M共轭的子群个数为

proof:

对于M共轭的子群有形式

若存在

即g与g’为G按M的正规化子右陪集分解的同一个等价类

∴与M共轭的子群个数为右陪集分解的等价类数目

theorem:对每个素数p，阶群G均是Abel群

设a≠1∈G，则a的阶为p或，如果G中存在阶元素g，则G={}是Abel群与同构，否则每个元素都是p阶元素，可证明G中存在中心元素a≠1，而a的阶是p，则A={}中的所有元素均为中心元素(易证)，考虑不在A中的p阶元素b，G可陪集分解为(互斥性易证)，于是G={}

由为中心元素，

有

故G为Abel群

设G为群，S是G的子集，G中包含S的最小子群A叫做由S生成的子群

如果群G自身由子集S生成，即，则称S是G的生成元系，如果S是有限集，称G是有限生成群。特别的，若群G由一个元素a生成，称G是循环群

Theorem:无限循环群同构于整数加法群Z，n阶有限循环群同构于，从而同阶循环群彼此同构

群G的子群N叫做G的正规子群，是指对每个g∈G，，如果N是G的正规子群，则表示为N◁G

Theorem:设N是G的子群，则下列条件彼此等价

i)N◁G

ii)对于每个g∈G，

iii)

iv)G对于N的每个左陪集均是右陪集

设N◁G，令，可在集合{}上定义二元运算:，不难验证对此运算形成群，幺元素为N。我们把群叫做G对正规子群N的商群，表示为

Theorem(同态基本定理):

设f:G->G’是群同态。则Im f=f(G)是G’的子群，Ker f=={}是G的正规子群，并且有群同构

Im f，

以S(Σ)表示Σ上全部置换构成的集合，这是一个|Σ|!元群，幺元素是恒等置换，S(Σ)叫做Σ的对称群，它的每个子集均为Σ上的置换群

我们称置换将映射成叫做一个长度为t的轮换，每个置换可唯一表示成没有公共元素的轮换之积

Theorem:将看作是{1,2,..,n}上的对称群，则n≥2时，(1,2),(1,3),…,(1,n)是的一个生成元系

设σ∈，设将σ表示成没有公共元素的轮换之积，如果长为r的轮换共个，则称σ的型为

称群G是单群，如果G≠{1}，并且G的正规子群只有{1}和G本身

Theorem:设G是有限群，p为素数，r是正整数，是|G|的因子。用表示G的阶子群的个数，则

最后自由群，小阶群结构和有解群属实不想看，数学成分过高＞﹏＜

环

环是一个集合R和R上两个二元运算组成的代数结构(R,+,·)，并且满足以下三个条件

(R,+)是Abel群，加法群的幺元叫做环R的零元素
(R,·)是半群
加法和乘法满足分配律，即对任意a,b,c∈R，有a(b+c)=ab+ac

正是条件3将两个运算用分配律联系在一起，形成新的代数结构-环

如果还满足条件

对所有a，b∈R，ab=ba，则称R为交换环
如果，使得对每个元素a∈R，，则R叫含幺环。叫做环R的幺元素

环R中非零元素a叫做R的左零因子，是指存在非零元素b∈R，使得ab=0，类似地定义右零因子，如果a同时是左零因子和右零因子，则a叫做环R的零因子

环R中的可逆元素通常叫做环R的单位，含幺环R的全体单位形成乘法群叫做环R的单位群，表示为U(R)

整环是指有单位元而无零因子的交换环

设S是环R的子集合，如果S本身对于环R中的运算也是环，则称S是R的子环。如果S对R中运算是体或域，则S叫做R的子体或子域。

设R和S是环，映射f:R->S为环的同态，是指对每个a，b∈R，有

环R的子集S叫做R的理想是指满足如下条件

如果a，b∈S，则a±b∈S
如果r∈R，a∈S，则ar，ra∈S

设A是环R的理想，集合R/A对自然定义的加法和乘法形成环，叫做R对理想A的商环

由一个元素x∈R生成的理想(x)叫做环R的主理想。如果R是整环，且R的每个理想都是主理想(x)，则R叫做主理想整环，简记为PID

设R为环，如果存在正整数m，使得对于每个r∈R均有mr=0，我们把满足此条件的最小正整数m叫做环R的特征。如果不存在这样的正整数m，便称环R的特征是零，环R的特征记为char R

设是两个环，定义直积，定义加法，定义乘法，

可验证其对上述加法和乘法形成环

Theorem(CRT):设R是含幺环，为环R的理想，并且i≠j是，。则有环同构 $≌$

算是中国剩余定理在环上的表达形式吧

环R的理想P叫做素理想是指，

P≠R
对于环R的任意两个理想A和B，如果AB⊆P，则A⊆P或者B⊆P

环还有各种各样的定义性质，但是我都不是很能理解就跳过了，以后用上再现查吧

这里会记录两个点，也是我比较感兴趣的两个方面，高斯整数环和多项式环

高斯整数环

环的单位群U(G)={}

Theorem:每个有理素数p在环G中均是不超过两个不可约元之积，并且若，其中为G中不可约元

则

一个有意思的点是它既是UFD(唯一因子分解整环)也是PID

Theorem:设p是有理素数，

i)p=2时，，为素元

ii)p=3(mod 4)时，p为G中素元

iii)p=1(mod 4)时，，为G中素元

这里性质3比较有意思，给出证明

proof:

若p=1(mod 4)，则，即存在

又，

故p不是高斯整数环上的素元，命题成立

高斯整数环实际上是丢番图方程的一种形式，对于之类的方程，可以选择在上进行分析

对于高斯整数环是UFD的证明需要利用欧氏整环上的相关性质，是个很有意思的命题

多项式环

设R是任意环，R[x]表示集合

R[x]={}

R[x]中每个元素f(x)叫做R上关于x的多项式，类似定义加法乘法，可验证R[x]对此形成环，叫做多项式环

其中R[x]为交换环<=>R为交换环，R[x]有幺元素<=>R有幺元素

域

一个至少含有两个元素的环R称为域，假如满足下列条件

R是交换环
R有单位元
R的每一个非零元有逆元